Олимпиада по математике в 7 классе с решением

Олимпиада по математике в 7 классе с решением

Усвоить школьную программу по математике могут только те, кто проявляет достаточно упорства. На уроках 7 классе учащиеся знакомятся с такими разделами, как степень с натуральным показателем, одночлен и многочлен, линейная функция, системы линейных уравнений с двумя переменными.

Принимая участие в олимпиадах, ученики углубляют свои знания и совершенствуют навыки, приобретенные на уроках. Но, чтобы добиться высокого результата, нужно долго и усердно готовиться.

На нашем сайте вы найдете олимпиадные задания по математике с ответами и решениями. Предложенные задания помогут подготовиться к олимпиаде. Мы советуем вам использовать их в качестве тренажера как на уроках, так и в ходе внеклассной самостоятельной подготовки.

1. Оба корня уравнения x2 – ax + 2 являются натуральными числами. Чему равно a?

2. Решите в натуральных числах уравнение:
zx + 1 = (z + 1)2

3. Решите уравнение:
12 – (4х – 18) = (36 + 5х) + (28 – 6х)

4. Найдите решение уравнения:
7x + 3 (x+0,55) = 5,65

5. Решите уравнение:
10у – 13,5 = 2у — 37,5.

6. Преобразуйте в многочлен:
(4х – 5у)2

7. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:
4у2 — 12у + 9

8. Решите уравнение:
8у – (3у + 19) = -3(2у — 1)

9. Решите уравнение:
5х2 – 4х = 0

10. Решите систему уравнений: { x+2*y = 12

{ 2*x-3*y = -18

Задачи

Задача №1
Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Задача №2
Последовательность строится по следующему закону. На первом месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1. Какое число стоит на 2000 месте?

Задача №3
В XIX-XX веках Россией правили 6 царей династии Романовых.

Вот их имена и отчества по алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович.

Один раз после брата правил брат, во всех остальных случаях после отца — сын. Как известно, последнего русского царя, погибшего в Екатеринбурге в 1918 году, звали Николаем. Найдите порядок правления этих царей.

Задача №4
Сколько чисел от 1 до 90 делятся на 2, но не делятся на 4?

Задача №5
В трех мешках 114 кг сахара. В первом на 16 кг меньше, чем во втором, а в третьем на 2 кг меньше, чем во втором. Сколько килограммов сахара во втором мешке?

Задача №6
Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются.

Задача №7
Точка D — середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. Точка E — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Установите, какой из отрезков BF или BE длиннее.

Задача №8
Пол в гостиной барона Мюнхгаузена вымощен одинаковыми квадратными каменными плитами. Барон утверждает, что его новый ковер (сделанный из одного куска ковролина) закрывает ровно 24 плиты и при этом каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд плит в гостиной содержит ровно 4 плиты, покрытых ковром. Не обманывает ли барон?

Задача №9
Саша выписал первые миллион натуральных чисел, не делящихся на 4. Рома подсчитал сумму 1000 подряд идущих чисел в Сашиной записи. Могло ли у него получиться в результате 20012002?

Задача №10
Автомобиль из A в B ехал со средней скоростью 50 км/ч., а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч.. Какова его средняя скорость?

Математические загадки

Загадка №1
Не пользуясь калькулятором и компьютером (в уме) вычислите сумму всех чисел от одного до ста?

Загадка №2
Позавчера Васе было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?

Загадка №3
Два отца и два сына разделили между собой 3 апельсина так, что каждому досталось по одному апельсину. Как это могло получиться?

Загадка №4
На острове живут два племени: молодцы. Которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил островитянина, спросил его, кто он такой, и когда услышал, что он из племени молодцов, нанял его в проводники.

Они пошли и увидели вдали другого островитянина, и путешественник послал своего проводника спросить его, к какому племени он принадлежит. Проводник вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов.

Спрашивается: был проводник молодцом или лгуном?

Загадка №5 В двух футбольных лигах в сумме 39 команд. Команда играет с каждой командой из своей лиги по одному разу; при этом никаких матчей между лигами не происходит.

  • За победу полагается 3 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0. В прошлом году в одной лиге состоялось на 171 матч больше, чем в другой.
  • Команда «Чемпионы», входящая в одну из лиг, проиграла всего три матча и набрала 32 очка.
  • Вопрос: со сколькими командами играли «Чемпионы» и сколько раз они сыграли вничью?

Ответы к уравнениям

Уравнение № 1 № 2 № 3 № 4 № 5
Ответ a = 3 z = 2x = 3 x = — 15¹/₃ x = 0,4 y = -3
Уравнение № 6 № 7 № 8 № 9 № 10
Ответ 16х2 — 40ху + 25у2 (2у — 3)2 y = 2 x = 0x=0,8 x = 0,6

Ответы к задачам

Задача 1
Если A = 0, то либо B = 0, либо B – C = 0. Ни то, ни другое невозможно. Поэтому A не 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно. Поэтому B не 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A = B. Отсюда следует, что B > 0. Значит, B положительно, а A – отрицательно.

Задача 2
Так как 2000 = 3 x 666 + 2, то 2000-м месте стоит число 5.

Задача 3
Павел Петрович, Александр Павлович, Николай Павлович, Александр Николаевич, Александр Александрович, Николай Александрович.

Задача 4
23

Задача 5
44 кг

Задача 6
60 чисел

Задача 7
Отрезок BE длиннее

Задача 8
Примером такой клетчатой фигуры может служить квадрат 6 на 6 без двух подходящих обобщенных диагоналей. Конечно, если трактовать это как ковер в гостиной, получится нечто экстравагантное, но ведь барон не зря слыл незаурядным человеком.

Задача 9
Из любых трёх чисел, идущих в Сашиной записи подряд, одно имеет остаток 1 пр делении на 4, другое – остаток 2, а оставшееся – остаток 3. Значит их сумма при делении на 4 даёт остаток 2.

Среди первых 999 Роминых чисел есть ровно 333 таких тройки, сумма чисел в них даёт при делении на 4 такой же остаток, как 333 • 2, то есть 2. Оставшееся число на 4 не делится, поэтому вся сумма не может также давать остаток 2.

А 20012002 даёт именно этот остаток.

Задача 10
37,5 км/ч

Ответы на загадки

  • Загадка 1
    5050
  • Загадка 2
    Если нынешний день 1 января, а у Васи день Рождения тридцать первого декабря. Позавчера, т.е. тридцатого декабря ему было еще семнадцать лет. Вчера, т.е. тридцать первого декабря исполнилось восемнадцать лет. В этом году исполнится девятнадцать лет, а в следующем году двадцать лет.
  • Загадка 3
    Всего деливших было трое: дед, его сын и внук
  • Загадка 4
    На острове на данный вопрос никто не мог ответить ничего, кроме того, что он молодец. Так как проводник воспроизвел правильно этот единственно возможный ответ, то ясно, что он молодец.
  • Загадка 5
    «Чемпионы» играли с 23 командами (следовательно, в их лиге 24 команды, а в другой — 15) и сыграли вничью 14 матчей из 23.
Читайте также:  Женщины в годы войны. рассказы для школьников

Источник: http://ruolimpiada.ru/olimpiada-po-matematike-7-klass-zadani/

Олимпиадные задания по математике. 7 класс. Решения

Олимпиадные задания по математике. 7 класс. Решения

Олимпиадные задания по математике. 7 класс. Решения. 1. Найдите все корни уравнения |х — 2008| = 2009.

2. Гонцу надо было пробежать 24 мили. Две трети этого расстояния он бежал со средней скоростью 8 миль в час. Сможет ли он, увеличив скорость, пробежать остаток пути так, чтобы его средняя скорость на всем пути оказалась равной 12 миль в час.

3. Дима взял 2008 одинаковых квадратиков. Он хочет сложить из всех этих квадратиков прямоугольник. Сколько различных прямоугольников он может получить?4. Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого, то соберут 90 рублей, без второго – 85, без третьего – 80, без четвертого – 75 рублей. Сколько у кого денег?

5. Последовательность чисел строится по следующему закону. На первом месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на единицу. Например, на втором месте стоит число 14, так как 72 = 49, а 4 + 9 + 1 = 14. На третьем месте стоит число 17 и так далее. Какое число стоит на 2008-м месте?

Решения.

1. Ответ: 4017 и -1.2. Нет, не может. Для того, чтобы средняя скорость гонца, пробежавшего 24 мили, была равна 12 милям в час, необходимо, чтобы он пробежал этот путь за 2 часа.

Но из условия следует, что за два часа гонец пробежал только 16 миль.3. Ответ: 4.4. Всего денег у купцов (90 + 85 + 80 + 75) : 3 = 110 рублей.

Поэтому у первого 110 – 90 = 20, у второго 110 – 85 = 25, у третьего 110 – 80 = 30, а четвертого 110 – 75 = 35 рублей.

Вычислим несколько первых членов данной последовательности: 7; 14; 17; 20; 5; 8;11;5; 8; 11; 5;

Таким образом, начиная с пятого члена последовательности, будет повторяться одна и та же тройка чисел 5, 8, 11.

Так как 2008 – 4 = 2004, а 2004 кратно 3, то на 2008-м месте будет стоять число 11.ве машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?

Ответ.  7,5 м..

Указание.  Пусть v(м/час) – скорость машин до знака, u (м/час) – скорость машин после знака. Вторая машина проедет знак позже первой на 10/v(час). За это время первая машина проедет 10u/v(метров) =106/8 =7.5 метров. Этот интервал и будет сохраняться после знака.

Задача № 1

Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?Ответ : на тридцать седьмое место.

Сколько мест могло быть в первом ряду.

Во-первых, их не больше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 41 равна 861. Во-вторых, их не меньше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 39 равна 780, и даже после прибавления к ней 39, результат будет меньше 857. Значит в первом ряду ровно 40 мест.

Теперь несложно определить, на какое место был продан лишний билет: 1 + … + 40 = 820; 857 – 820 = 37.

Задача № 2

Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?Ответ : «Нет».

Так как первый и второй приятели дали различные ответы, то один из них – лжец, а другой – рыцарь. Кроме того, рыцарь не мог ответить «Нет» на предложенный ему вопрос, так как в этом случае он бы сказал неправду (среди двух оставшихся точно есть лжец). Следовательно, первый – лжец.

Он солгал, значит среди двух оставшихся должен быть лжец, и им может быть только третий приятель. Значит третий ответил «Нет».

Задача № 3

Существует ли 10-угольник, который можно разрезать на 5 треугольников? Ответ : существует.Смотри рисунки :Задача № 4 :Вася и Митя играют в «морской бой» на поле размером 8 8 по следующим правилам. Митя расставляет 16 одноклеточных кораблей так, чтобы они не соприкасались (даже углами).

Каждым ходом Вася называет одну из клеток поля и, если на этой клетке стоит корабль, то корабль считается уничтоженным. Докажите, что независимо от расстановки кораблей Вася за 4 хода сможет уничтожить хотя бы один корабль.Разрежем поле для игры на 16 квадратов размером 2 2. Заметим, что в каждом таком квадрате не может стоять более одного корабля (иначе корабли будут соприкасаться).

Так как всего кораблей 16, то в каждом квадрате должен стоять корабль. Таким образом, Васе достаточно полностью «расстрелять» один из этих квадратов. Задача № 5 :На острове Невезения отменили понедельники: у них за воскресеньем сразу следует вторник.

За последний год (то есть, с 15 декабря 2002 года по 14 декабря 2003 года) воскресенья на острове совпадали с нашими воскресеньями ровно восемь раз. Какой день недели на острове сегодня?Ответ : суббота.

Так как обычная неделя состоит из семи дней, а неделя на острове – из шести, то совпадение воскресений происходит один раз в 6 х 7 = 42 дня. Значит, за 378 дней происходит 9 совпадений.

Поскольку 378 – 365 = 13, то девятое совпадение должно произойти в течение ближайших тринадцати дней (с 15 по 27 декабря). Единственное воскресенье в этот период – 21 декабря. Непосредственным подсчетом получаем, что сегодня на острове – суббота.

Задача № 6 

На каждом километре между селами Марьино и Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Марьино, на другой – расстояние до Рощино. Останавливаясь у каждого столба, Бобик заметил, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13. Найдите расстояние между селами.

Читайте также:  Основные типы почвы

Ответ: 49 километров.

Расстояние между селами не может быть больше, чем 49 километров, так как тогда на одном из столбов будет написано с одной стороны 49, а с другой – не 0, то есть, сумма цифр будет больше 13.

На первых девяти столбах с одной стороны записаны однозначные числа от 1 до 9, поэтому числа, записанные с другой стороны, также должны быть из одного десятка (чтобы суммы цифр были одинаковы). Следовательно, искомое расстояние выражается числом, оканчивающимся на 9.

Числа 9, 19, 29 и 39 решениями не являются, так как на первом столбе сумма цифр не будет равна 13. Таким образом, искомое расстояние равно 49 километрам.

Задача № 7 :По кругу стоят восемь козлов разного роста. Любой из них умеет перепрыгивать через двух соседних козлов против часовой стрелки.Докажите, что при любом начальном расположении козлов они смогут встать по росту.

показано, каким образом любой козел (черный) сможет допрыгать до любого места, то есть, встать за любым (белым), заранее выбранным. В это время остальные козлы стоят на своих местах.

Поэтому, сначала второй по росту козел встанет за самым высоким, после чего за ним встанет следующий по росту, и так далее. Такая операция возможна потому, что числа 2 и 7 – взаимно простые.

Источник: http://moyamatem.ru/olimpiadnie-zadaniya-po-matematike-7-klass-resheniya/index.html

Математика 7 класс, школьный этап (I этап)

(7 баллов)  Приведите пример двух обыкновенных дробей, разность которых в три раза больше их произведения. Приведите вычисления, обосновывающие это свойство.

Ответ. Например, 1/2 и 1/5

Решение

Подходят любые дроби вида 1/n и 1/(n+3), есть и другие решения.

Критерии проверки

  • Любое верное решение (на рисунках показано, как разрезать трапецию и как складывать квадрат) — 7 баллов.
  • Неполное решение (показано  только,  как  разрезать  трапецию  или  как сложить квадрат) — 3 балла.

 Задание 3

(7  баллов)  На  доске  написано  число 49.  За  один  ход  разрешается  либо удваивать число, либо стирать его последнюю цифру. Можно ли  за несколько ходов получить число 50?

Ответ. Можно.

Решение

Число 50 можно получить, удвоив 25,  а 25 можно получить,  стерев последнюю  цифру  числа 256,  которое  является  степенью  двойки.  Таким образом, необходимая цепочка преобразований может выглядеть так:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Существуют и другие решения.

Критерии проверки

  • Любое полное верное решение — 7 баллов.
  • Неполное решение (например, указано, что 50 можно получить из числа 256, но не указано, как получить 256) — 3 балла.
  • Приведён только ответ — 0 баллов.

 Задание 4

(7 баллов) Один из трёх друзей: Андрей, Борис или Владимир — самый сильный, другой — самый умный, третий — самый добрый. Однажды они сказали следующее:

Андрей: Владимир сильнее меня.

Борис: Я умнее Владимира.

Владимир: Борис умнее меня.

Известно,  что  самый  сильный и  самый  добрый  сказали  правду,  самый  умный соврал и среди них нет двух людей, равных по силе.

Верно ли, что среди трёх друзей тот, кто самый добрый, тот и самый слабый?

Обоснуйте свой ответ.

Ответ. Да.

Решение

Обозначим: А — Андрей, Б — Борис, В — Владимир. Утверждения Б и В повторяют друг друга, а так как имеется только одно неверное утверждение среди трёх, Б и В сказали правду, А — ложь.

Следовательно, А самый умный (по условию), А сильнее В (так как А соврал) и Б умнее В (так как Б и В сказали правду).  Раз  А  сильнее  В,  то  В  не  самый  сильный.  Получается,  что  самый сильный  Б,  средний  по  силе  А,  самый  слабый —  В.

При  этом  В  не  самый умный и не самый сильный, значит, он самый добрый.

Для  наглядности  можно  занести  имеющуюся  информацию  в таблицу.  Будем обозначать «места»  каждого  качества: 1 —  первое  место (самый  умный / сильный / добрый), 2 — среднее, 3 — последнее место.

умный сильный добрый
А 1 2
Б 1
В 3 1

Из таблицы видно, что В — самый добрый и самый слабый.

Критерии проверки

  • Любое полное верное решение — 7 баллов.
  • Верно и обоснованно найдено,  кто  самый  сильный,  кто  самый  умный  и кто самый добрый, а дальше продвижений нет — 5 баллов.
  • Обоснованно получено,  Андрей  самый  умный,  верно  распределены друзья  по  силе (все 3  места),  но  не  получено  или  не  соотнесено  с  тем,  что Владимир самый добрый, — 5 баллов.
  • Приведены рассуждения  только  для  частного  случая (например, рассмотрен  только  случай,  что  Андрей  сказал  неправду)  без  рассмотрения остальных частных случаев и без указания на их невозможность — 2 балла.
  • Верный ответ с указанием, кто  самый умный, кто  самый  сильный и кто самый  добрый,  с  проведённой  проверкой,  что  при  такой  расстановке  все условия задачи выполнены, но без обоснований — 2 балла.
  • В самом начале рассуждений допущена ошибка — 0 баллов.
  • Приведён только ответ — 0 баллов.

 Задание 5

(7 баллов) Мама гуляет с коляской вокруг озера и полностью обходит озеро за 12  минут.  Ваня  по  той  же  дорожке  в  ту  же  сторону  ездит  на  самокате  и встречает (обгоняет) маму каждые 12 минут. Через какие промежутки времени

Ваня  будет  встречать  маму,  если  он  будет  ездить  с  той  же  скоростью,  но в обратном направлении?

Ответ. Через 4 минуты.

Решение

  • Так как мама полностью обходит озеро за 12 минут и встречает Ваню раз  в 12  минут,  за 12  минут  Ваня  проезжает  вокруг  озера  ровно 2  раза, а мама — один. Значит, скорость Вани в 2 раза больше скорости мамы.
  • Отсюда следует, что, когда Ваня ехал  в  том же направлении, что и мама, скорость их сближения  была  равна  скорости  мамы.  Если  Ваня  будет  ехать  в  противоположном направлении, то скорость их сближения будет равна трём скоростям мамы, то есть будет в три раза больше.
  • Значит, он будет встречать маму в три раза чаще, то есть через каждые 4 минуты.
  • Это рассуждение можно провести, введя обозначение для длины дорожки.
  • Пусть  a — длина дорожки вокруг озера (в метрах), тогда скорость мамы равна a/12 (м/мин), а скорость Вани — a/6 (м/мин). Скорость сближения в случае, если мама  и Ваня  едут  навстречу  друг  другу  равна  3a/12=a/4  (м/мин). Следовательно, с такой  скоростью  они  преодолеют  вместе  a  метров  за 4  минуты,  т. е.  будут встречаться раз в 4 минуты.

Критерии проверки

  • Любое полное верное решение — 7 баллов.
  • Верно найдено, что скорость Вани в 2 раза больше скорости мамы, верно найдена сумма скоростей, но окончательный вывод сделан неверно — 2 балла.
  • Верно и  обоснованно  найдено,  что  скорость  Вани  в 2  раза  больше скорости  мамы,  но  дальнейшие  рассуждения  либо  не  обоснованы,  либо  не доведены до конца — 1 балл.
  • Решение, в  котором  приведены  конкретные  расстояния  и  скорости  и получен верный ответ, — 1 балл.
  • Только верный ответ — 0 баллов.
Читайте также:  Былины для 2 класса

Максимальный балл за все выполненные задания — 35.

Источник: http://olimpiadnye-zadanija.ru/matematika-7-klass-shkolnyj-etap-i-etap-g-moskva-2016-god/

Олимпиадные задания по математике ( 7 класс)

Из спичек выложено неверное равенство:

Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным.

Решение:

  1. Анастасия Васильевна купила задачник, в котором собраны 200 задач заключительного этапа Всероссийской Олимпиады, и решила прорешать эти задачи за три дня.

    В первый день она решила половину всех задач, которые смогла решить за все три дня. Во второй день она решила на 60 задач меньше, чем в первый, а в третий вполовину меньше, чем в первый и во второй вместе.

    Сколько задач не смогла решить Анастасия Васильевна?

Ответ: 20. Решение. Пусть всего было решено n задач. Тогда по условию . Решив уравнение, получаем. Тогда Анастасия Васильевна не решила 200 — 180 = 20 задач.

  1. Стороны квадрата ABCD равны 6 см. На сторонах BC и CD отметили точки P и Q такие, что отрезки AP и AQ делят квадрат на три части равной площади. Найдите площадь треугольника APQ.

Ответ: 10 см2. Решение. из условия ясно, что . С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Ответ: 10269. Решение 1. Рассмотрим наименьшее такое число. На первом его месте стоит цифра 1 (иначе наше число меньше). Аналогично, на вторых и третьих местах стоят цифры 0 и 2.

Кроме того, сумма цифра цифр должна делится на 9. На предпоследнем месте должно стоять одно из чисел 3, 4, 5, 6 (большие противоречат минимальности).

Несложным перебором убеждаемся, что случаи 3, 4, 5 невозможны, а для 6 на последнем месте может стоять только 9.

Решение 2. Минимальное пятизначное число со всеми различными цифрами — это 10234. Минимальное число, не меньшее данного и делящееся на 9, есть 10242. Если к этому числу мы трижды прибавим по 9, мы получим числа 10251, 10260, 10269. Из них только последнее удовлетворяет условию задачи, т.к. все его цифры различны, и, по построению, оно делится на 9.

  1. Сколько всего имеется шестизначных чисел со всеми различными цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 таких, что двузначное число ab делится на 2, трёхзначное число abc делится на 3, четырёхзначное число abcd делится на 4, пятизначное число abcde делится на 5, шестизначное число делится на 6?

Ответ: 2. Решение. Чётные цифры стоят на чётных местах, поэтому нечётные — на нечётных. На пятом месте стоит цифра 5. Значит, сумма a + c всегда 1 + 3 = 4.

Сумма первых трех цифр делится на 3, значит вторая цифра – это только 2. Т.к abcd делится на 4, то cd делится на 4, и d может быть только 6.

Получаем 2 варианта: 123654 и 321654, каждый из которых подходит под условие задачи.

Источник: https://docbaza.ru/naurok/matematika/text-95110829.html

Олимпиада, 7 класс, им. Анисимовой с решением — Готовые олимпиады

Задача 1: График линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3. Найдите эту функцию.

Решение: Данный график образует с осью абсцисс такой же угол в 45, как и биссектриса первого и третьего координатных углов. Значит, ее угловой коэффициент равен 1. Поскольку при x = 0 значение функции равно 3, то искомая функция есть y = x + 3.

Задача 2: Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собираетс менять?

Решение: Если у туриста было X рублей, то в банке ОГОГО он получит за них (X – 7000)/3000 тугриков, а в банке ЙОХОХО X/3020 – 1 тугриков. Решая уравнение (x – 7000)/3000 = X/3020 – 1, получаем X = 604000 (руб.).

Задача 3: Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A² = B²(B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Решение: Если A = 0, то либо B = 0, либо B – C = 0. Ни то, ни другое невозможно. Поэтому A ≠ 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно. Поэтому B ≠ 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A² = B³. Отсюда следует, что B³ > 0. Значит, B положительно, а A – отрицательно.

Задача 4: ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM.

Решение: По теореме о внешнем угле треугольника сумма углов CKA и KCA равна углу CAB. Поскольку треугольник CAK – равнобедренный,  ∠ KCA =  ∠ CKA =  ∠ CAB/2. Аналогично,  ∠ BCM =  ∠ BMC =  ∠ CBA/2. Таким образом,  ∠ KCM =  ∠ KCA +  ∠ ACB +  ∠ BCM =  ∠ ACB + ( ∠ CAB +  ∠ CBA)/2 = 90 + 45 = 135.

Задача 5: Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 11 так, чтобы суммы трех чисел на каждом из пяти выходящих из центра отрезков равнялись одному и тому же числу A, а суммы пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников равнялись одному и тому же числу B? Если да, то как? Если нет, то почему?

Решение: Покажем, что расставить числа требуемым образом нельзя. Допустим, это удалось. Обозначим через X число, стоящее в центральном кружочке. Все остальные числа стоят в кружочках, образующих два пятиугольника. Поэтому X + 2B = 1 +  …  + 11 = 66, откуда X = 66 – 2B. Значит, число X должно быть четным.

Теперь сложим все суммы чисел, стоящих на выходящих из центра отрезках. Получится 5A. При этом число X будет сосчитано пять раз, а все остальные – по одному разу. Поэтому 5A = 4X + (1 +  …  + 11) = 4X + 66 (*). Значит, число 4X + 66 должно делиться на 5.

Этому условию среди чисел от 1 до 11 удовлетворяют только числа 1, 6 и 11, и при этом только число 6 четно. Следовательно, X = 6. Подставляя найденное значение X в уравнение (*), находим, что A = 18.

Стало быть, на каждом из пяти выходящих из центра отрезков сумма двух чисел, стоящих там вместе с числом X, должна равняться 18 – 6 = 12. Получается, что на одном отрезке должны стоять числа 1 и 11, 2 и 10, 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7. Заметим, что три из пяти перечисленных пар состоят из нечетных чисел, а две – из четных.

Поэтому в вершинах каждого из двух пятиугольников должны стоять три нечетных и два четных числа. Это означает, что число B должно быть нечетным. Но из доказанного выше равенства X = 66 – 2B при X = 6 получаем B = 30. Противоречие.

Источник: http://free-math.ru/publ/zanimatelnaja_matematika/olimpiadnye_zadachi/olimpiada_7_klass_im_anisimovoj_s_resheniem/8-1-0-122

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector